Question

如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF=HG．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF=，BF=3，求⊙O的半径长．

Answer

（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质首先求出∠3=∠1，进而得出∠BEG=90°即可得出AB⊥CD；
（2）连接AF，首先得出∠HGF=∠1=∠4=∠A，利用锐角三角函数得出AB即可得出半径．
（1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH=90°．
即∠1+∠2=90°．
∵HF=HG，∴∠1=∠HGF．
∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1．
∵OF=OB，∴∠B=∠2．
∴∠B+∠3=90°．
∴∠BEG=90°．
∴AB⊥CD．

（2）【解析】
如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB=90°．
即∠2+∠4=90°．
∴∠HGF=∠1=∠4=∠A．
在Rt△AFB中，AB===4．
∴⊙O的半径长为2．