Question

已知二次函数的顶点C的横坐标为1，一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点，且A点在y轴上，以C为圆心，CA为半径的⊙C与x轴相切，
（1）求二次函数的解析式；
（2）若B点的横坐标为3，过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l，判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系；
（3）在满足（2）的条件下，把二次函数的图象向右平移7个单位，向下平移t个单位（t＞2）的图象与x轴交于E、F两点，当t为何值时，过B、E、F三点的圆的面积最小？

Answer

（1）由于点A在y轴上，根据一次函数的解析式（主要注意常数项）即可得到点A的坐标，所以要求出二次函数的解析式，还必须知道顶点C的具体坐标；已知以C为半径的圆与⊙C相切，那么点C必在x轴的上方，且点C到x轴的距离（即C点的纵坐标值）与CA的长相同，可据此确定出点C的坐标；然后先将二次函数的解析式设为顶点式，再代入点A的坐标后可得解．
（2）已知点B的横坐标，代入（1）的二次函数解析式中可得到点B的坐标，以AB为直径的圆的圆心必为线段AB的中点，A点坐标已知，则圆心坐标可求，判定圆心到直线l的距离是否与AB长的一半相等即可．
（3）首先根据“左加右减，上加下减”的平移规律得出平移后的函数解析式，令函数值为0后可得到点E、F的坐标（用含t的式子表达）；题目要求的是过B、E、F三点的圆的面积最小，那么这个圆的半径应该最小，可根据这个思路来解题；设这个圆的圆心为P，那么PB=PE=PF=rP，所以点P必在线段EF的中垂线上，如果半径rP最短，那么PB的长最短，通过图示我们可以看出，当BP垂直于EF的中垂线时（即BP为点B到EF中垂线的垂线段），BP的长最短，可据此确定圆心P的坐标，然后由PE=BP列方程求得t的值．
【解析】
（1）∵一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于y轴的A点，
∴A（0，2）；
∵以CA为半径的⊙C与x轴相切，
∴点C在x轴上方，可设C（1，y），则有：
y2=（1-0）2+（y-2）2，解得 y=
即：顶点C（1，）；
设二次函数的解析式为：y=a（x-1）2+，代入A（0，2），有：
a（0-1）2+=2，解得 a=
∴二次函数的解析式：y=（x-1）2+=x2-x+2．

（2）当x=3时，y=（x-1）2+=×4+=，即 B（3，）；
由（1）知，A（0，2），所以 AB的中点（，），AB==；
过点C且平行于x轴的直线l：y=，所以以AB为直径的圆心到直线l的距离为：-==AB；
因此以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）二次函数平移后的解析式为y=（x-8）2+-t，
令y=0，即 （x-8）2+-t=0，解得：x=8±；
假设E（8-，0）、F（8+，0），EF的中垂线为x=8；
过B、E、F三点的圆心在x=8上，若过B、E、F三点的圆的面积最小，只需点B到直线x=8的距离最小，即最小值为5；
过B作直线x=8的垂线，垂足P即为圆心，半径r=5；
则PE=5，EF=，ES=EF=；
由PS2+ES2=PE2，得：（）2+（4t-5）=52，
解得：t=；
即：当t=时，过B、E、F三点的圆的面积最小．