Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD=∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE，然后证明∠DPE=90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、CP的长度，然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应的图象即可得解．
【解析】
如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB-BE=3-y，CP=BC-BP=5-x，
在Rt△BEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=（3-y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2=（5-x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2=PE2+PD2，
则（3-y）2+52=x2+y2+（5-x）2+32，
整理得，-6y=2x2-10x，
所以y=-x2+x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选D．