Question

已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，y_B）（如图1）；过半圆上的点C（x_C，y_C）作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于x_C²．
（1）求点C的坐标；
（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．设抛物线y=ax²+h过点P、Q，抛物线y=a₁x²+h₁过点P₁、Q₁，则h＞h₁”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）为例进行验证；
②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，求K的纵坐标y_K的取值范围．

Answer

（1）已知了△DOC的面积，那么xc•|yc|=xc2，因此=，根据圆的半径为5，根据勾股定理可得出C点横坐标的平方与纵坐标的平方的和为25，据此可求出C点的坐标．
（2）①根据四点坐标线求出两抛物线的解析式，然后比较h，h1的值即可．
②本题考虑两个极限值即可：
一：当T运动到B点时，T与K，B重合，B点为抛物线的顶点，此时yK最小．
二：当T运动到F点时，T、F重合，此时过F、B、C的抛物线的yK值最大，由此可得出yK的取值范围．
【解析】
（1）yB=5=半径；xCyC=xC2，xC2+y2C=25，
得C（4，3）（2分）和C（4，-3）

（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=ax2+h
即为y=-x2+，得h=．
过P1（p+1，3）、Q1（p，5）的抛物线y=a1x2+h1
为y=-•x2+，
h1=．
h-h1=-
==，
∵MQ＞M1Q1，其中MQ=6，
∴0≤p=M1Q1＜3，可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，
因而得到h-h1＞0，证得h＞h1．
或者说明2p+1＞0，-14p2+36p+18在0≤p＜3时总是大于0，
得到h-h1＞0．
②显然抛物线y=ax2+bx+c的开口方向向下，a＜0．
当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴yK≥5；
将过点T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时yK不变．
则由上述①的结论，
当T在FB上运动时，过F（-3，5）、B（3，5）、C（4，3）三点的抛物线的顶点为最高点，
∴yK≤，
∴5≤yK≤．