Question

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小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使 i²=-1，那么当x²=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
据此可知：（1）i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i⁴=______，i²⁰¹¹=______，i²⁰¹²=______；
（2）方程x²-2x+2=0的两根为______（根用i表示）．

Answer

（1）根据 i2=-1可将i4化为i2•i2；i2011=（i2）1005•i；i2012=（i2）1006•i进行计算即可；
（2）先根据-1=i2求出△的值，再由公式法求出x的值即可．
【解析】
（1）∵i2=-1，
∴i4=i2•i2=（-1）×（-1）=1；
i2011=（i2）1005•i=（-1）1005•i=-i；
i2012=（i2）1006•i=（-1）1006•i=i．
故答案为：1，-i，1．

（2）∵△=（-2）2-4×1×2=-4，i2=-1，
∴△=4i2，
∴方程x2-2x+2=0的两根为x==1±i，即x=1+i或x=1-i．
故答案为：1+i或1-i．