Question

如图，在平面直角坐标系中，直线（b＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点，以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标；
（2）当b值由小到大变化过程时，求S与b的函数关系式；
（3）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，且PC=PD，请直接写出b的值．

Answer

（1）因为以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作的等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，所以可作PK⊥MN于K，则PK=KM=NM=2，进而可求KO=6，所以P（6，2）；
（2）需分情况讨论：当0＜b≤2时，S=0；当2＜b≤3时，重合部分是一个等腰直角三角形，可设AC交PM于H，AM=HA=2b-4，所以S=（2b-4）2；当3＜b＜4时，重合部分是一个四边形，因此可设AC交PN于H，四边形的面积=三角形PMN的面积-三角形HAN的面积，因为NA=HA=8-2b，所以S=-2（4-b）2+4，当b≥4时，重合部分就是直角三角形PMN，所以S=4．
（3）当△PCD为等腰三角形，且PC=PD时，b=4．
【解析】
（1）如图（二），作PK⊥MN于K，
∵M（4，0），N（8，0），
∴MN=4，OM=4，
又∵△PMN是等腰三角形，MN是斜边，
∴PK=KM=NM=2，
∴KO=OM+MK=6，
∴P（6，2）；

（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0；
②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=（2b-4）2=2b2-8b+8，

③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S△PMN-S△ANH=4-2（4-b）2=-2b2+16b-28，

④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4；

（3）b的值为4．
∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b），PC=PD，P（6，2），
∴（6-2b）2+（2-b）2=（6-b）2+（2-b）2
∴b=4．