Question

已知：二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，求|x₁-x₂|的范围．

Answer

（1）一次函数经过原点，说明这个一次函数是正比例函数，将点（1，-b）的坐标代入，即可求得这个一次函数的表达式．
（2）将点（1，0）代入抛物线的解析式中，可得到a、b的关系式，用b替换掉a后联立一次函数的解析式，可得到一个关于x的一元二次方程，判断方程的根的判别式是否大于0即可．
（3）由题意知：x1、x2是（2）题所得一元二次方程的两个实数根，根据韦达定理即可求得|x1-x2|的表达式，然后根据a、b的符号以及（2）题所得a、b的关系式即可得到|x1-x2|的取值范围．
【解析】
（1）∵一次函数过原点，
∴设一次函数的解析式为y=kx；
∵一次函数过（1，-b），
∴y=-bx．（3分）

（2）∵y=ax2+bx-2过（1，0），即a+b=2，（4分）
∴b=2-a．
由，得：（5分）
ax2+bx-2=-bx，
∴ax2+（2-a）x-2=-（2-a）x，
∴ax2+2（2-a）x-2=0①；
∵△=4（2-a）2+8a=16-16a+4a2+8a=4（a2-2a+1）+12=4（a-1）2+12＞0，
∴方程①有两个不相等的实数根，
∴方程组有两组不同的解，
∴两函数图象有两个不同的交点．（6分）

（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解，
∴x1+x2=-，∴x1+x2=-，；
∴=；
（或由求根公式得出）（8分）
∵a＞b＞0，a+b=2，
∴2＞a＞1；
令函数，
∵在1＜a＜2时，y随a增大而减小．
∴；（9分）
∴，
∴．（10分）