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如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10厘米,...

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10厘米,OC=6厘米,现有两动点P,Q分别从O,A同时出发,点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动,点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动,已知点P的运动速度为1厘米/秒.
(1)设点Q的运动速度为0.5厘米/秒,运动时间为t秒,
①当△CPQ的面积最小时,求点Q的坐标;
②当△COP和△PAQ相似时,求点Q的坐标.
(2)设点Q的运动速度为a厘米/秒,问是否存在a的值,使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似?若存在,请求出a的值,并写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)因为无法直接求△CPQ的面积,只好用梯形的面积减去两个三角形的面积,得到关于t的二次函数,求最小值就可以了,从而得到t的值,就可求出Q的坐标.利用三角形的相似,可以得到比例线段,求出t的值,就可以求出Q点的坐标. (2)利用三角形的相似,得到比例线段,解关于a、t的二元一次方程即可,那么Q点的坐标就可求. 【解析】 (1)①先设两点运动的时间是t时,△CPQ面积最小. S△CPQ=S梯形QCOA-S△COP-S△APQ=(AQ+OC)×OA-AP•AQ-OC•OP =(0.5t+6)×10-×0.5t×(10-t)-×6×t =(t-6)2+21 ∵a=>0, ∴当t=6时,S△CPQ有最小值, 那么AQ=0.5t=0.5×6=3, ∴Q点的坐标是(10,3). ②△COP和△PAQ相似,有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况: (i)当△COP∽△PAQ时: ∴=, ∴=, 即t2-7t=0, 解得,t1=0(不合题意,舍去),t2=7. ∴t=7, ∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5. ∴Q点的坐标是(10,3.5). (ii)当△COP∽△QAP时: =, ∴=, 即t2+12t-120=0 解得:t1=-6+2,t2=-6-2(不合题意,舍去) ∴AQ=0.5t=-3+. ∴Q点的坐标是(10,-3+); (2)∵△COP∽△PAQ∽△CBQ, ∴, 即, 解得,t1=2,t2=18, 又∵0<t<10, ∴t=2.代入任何一个式子,可求a=. ∴AQ=at= ∴Q点的坐标是(10,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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