Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P．求证：PD是⊙O的切线．

Answer

连接OD，由于D是弧BC中点，易知弧CD=弧BD，即可得∠CAB=∠BOD，故可知OD∥AP，由题干条件可知AP⊥DP，易求∠ODP=90°，从而可证得PD是⊙O的切线．
证明：连接OD，
∵点D是弧BC的中点
∴弧BD=弧BC，
∵∠CAB=弧BC，∠BOD=弧BD，
∴∠CAB=∠BOD，
∴OD∥AP，
∵AP⊥DP，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线．