Question

如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．

Answer

（1）先过B作BD⊥x轴于D，在Rt△AOB中利用含有30°角的直角三角形的性质，易求AB，同理可求AD，结合勾股定理可求BD，从而易求点B的坐标，然后把B、A两点坐标代入一次函数解析式，易得关于ab的二元一次方程组，解可求ab，从而可得一次函数解析式；
（2）把A、B、O三点坐标代入二次函数解析式，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，从而可得二次函数解析式；
（3）根据图可知x的取值范围．
【解析】
（1）∵A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵∠AOB=30°，∠ABO=90°，
∴AB=1，∠BAD=60°，
过B作BD⊥x轴于D，
在Rt△ABD中，AB=1，∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=，
∴BD==，
∴OD=2-=，
∴B点的坐标是（，），
设直线AB的解析式是y=ax+b，
把（2，0）（，）代入y=ax+b中，得
，
解得，
∴一次函数的解析式是y=-x+2；
（2）把（2，0）、（，）、（0，0）代入二次函数y=ax2+bx+c中，得
，
解得，
∴二次函数解析式是；
（3）据图观察可知当或x＞2时，一次函数的值大于二次函数的值．