Question

阅读下面的文字，回答后面的问题：求5+5²+5³+…+5¹⁰⁰的值．
【解析】
令S=5+5²+5³+…+5¹⁰⁰（1），将等式两边同时乘以5得到：5S=5²+5³+5⁴+…+5¹⁰¹（2），
（2）-（1）得：4S=5¹⁰¹-5，∴
问题：（1）求2+2²+2³+…+2¹⁰⁰的值；（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值．

Answer

（1）由题意可S=2+22+23+…+2100①，将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，由②-①即可求得答案；
（2）由4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），然后令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，由②-①即可求得答案．
【解析】
（1）令S=2+22+23+…+2100①，
将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，
②-①得：S=2101-2；

（2）∵4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），
令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，
∴将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，
②-①得：2S=4×（341-1），
∴S=2×（341-1）．