Question

如图，已知一次函数y=kx+1（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2．
（1）一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）P是x轴上一动点，是否存在点P，使得由A、P、C三点构成的三角形是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为反比例函数的图象过C点，所以可求C点坐标，再求一次函数的解析式；
（2）根据直线解析式求A点坐标再求△AOC的面积；
（3）存在．以AC为直角边时，当AC为直角边时，由于∠ACP2=∠AP1C=∠CP1P2=90°可以推出△ACP1∽△CP2P1，然后利用相似三角形的性质即可求出P1P2，就可以求出P的坐标；当以AC为斜边时，就可以直接得到P的坐标．
【解析】
（1）∵反比例函数的图象过C点，C点的横坐标为2，
∴C（2，2），
∵一次函数y=kx+1过C点，
∴2=2k+1，
∴k=，
∴一次函数的解析式为y=x+1；

（2）当y=0时，x+1=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
由图象得S△AOC=×2×2=2；

（3）如图，
当AC为斜边时，P1（2，0）；
当AC为直角边时，
∵∠ACP2=∠AP1C=∠CP1P2=90°，
∴△ACP1∽△CP2P1，
∴CP12=AP1•P1P2，
而AP1=4，CP1=2，
∴P1P2=1，
∴OP2=3，
∴P2（3，0）．
故P点坐标（2，0）或（3，0）．