Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，直角三角尺的一条直角边始终经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一条直角边与BC相交于点Q，设AE的长为xcm，BQ的长为ycm．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）E点滑动到何处，BQ最长？最长是多少？
（3）在（2）的情况下，猜想：以DQ为直径的⊙O与AB的位置关系，并说明你的猜想．

Answer

（1））根据正方形性质得出∠A=∠ABC=90°，求出∠ADE=∠BEQ，推出△ADE∽△BEQ，得出比例式，代入求出即可；
（2）得出顶点式y=-（x2-4x）=-（x-2）2+1，根据二次函数的性质得出当x=2时，y的最大值是1，即可得出答案；
（3）连接DQ，取QD的中点O，连接OE，由（2）知AE=2，求出E为AB中点，根据梯形的中位线的性质得出OE∥AD，推出OE⊥AB，根据切线的判定推出即可．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEQ=90°，
∴∠AED+∠QEB=90°，∠AED+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEQ，
∴△ADE∽△BEQ，
∴=，
∴=，
∴y=-x2+x（0＜x＜4）；

（2）∵y=-（x2-4x）=-（x-2）2+1，
a=-＜0，
∴函数有最大值，
当x=2时，y的最大值是1，
∴当AE=2时，BQ有最大值，最大值是1；

（3）以DQ为直径的⊙O与AB的位置关系是⊙O与AB相切，
证明：
连接DQ，取QD的中点O，连接OE，
由（2）知AE=2，
∵AB=4，
∴BE=2=AE，
即E为AB中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD∥BQ，
∵O为DQ的中点，
∴OE是梯形ADQB的中位线，
∴OE∥AD，
∵∠A=90°，
∴∠OEB=∠A=90°，
即OE⊥AB，OE为⊙O半径，
∴⊙O与AB相切．