Question

如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．
（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是    ；
（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是    ．

Answer

（1）当点O´与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；
（2）分别求出O′和B′在双曲线上时，P的坐标即可．
【解析】
（1）当点O´与点A重合时
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后是O´B´．
AP=OP，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），
故答案为：（4，0）．

（2）由（1）知，当P的坐标是（4，0）时，直线O´B´与双曲线有交点O′，
当B′在双曲线上时，B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等边三角形，
∴BP=B′P=t-2，
∴CP=（t-2），B′C=（t-2），
∴OC=OB+BC=t+1，
∴B′的坐标是（t+1，（t-2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2，
∴A（2，2），
∵A和B′都在双曲线上，
∴（t+1）•（t-2））=2×2，
解得：t=±2，

∴t的取值范围是4≤t≤2或-2≤t≤-4．
故答案为：4≤t≤2或-2≤t≤-4