Question

如图，已知正三角形ABC的边长为6，在△ABC中作内切圆O及三个角切圆（我们把与角两边及三角形内切圆都相切的圆叫角切圆），则△ABC的内切圆O的面积为    ；图中阴影部分的面积为    ．

Answer

连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径为；然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和即为阴影部分的面积．
【解析】
如图，连接OB、OD；设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的交点为G；
过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F；
则∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等边三角形；
在Rt△OBD中，OD=3，∠OBD=30°，则OD=，OB=2，BG=；
由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，
故PG=BG=；
∴S⊙O=π×（）2=3π，S⊙P=π×（）2=π；
∴S阴影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P=9-3π-π=9-4π；
故△ABC的内切圆O的面积为3π，图中阴影部分的面积为9-4π．