Question

（1）如图1，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．求证：①△ADE≌△ADC；②四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在AB的反向延长线上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD的反向延长线于点F．四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，直接写出此时△ABC中∠BAC与∠B的关系；如果不能，请直接回答问题，不必说明理由．

Answer

（1）①直接由SAS得出△ADE≌△ADC；②由△ADE≌△ADC得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS证明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等角对等边得出DE=EF，从而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．
（2）首先由SAS证出△ADE≌△ADC，△AFE≌△AFC，得出DE=DC，∠ADE=∠ADC，EF=CF．然后由EF∥BC，得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等边对等角得出DE=EF，则DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．
（3）如果四边形CDEF是正方形，由上问可知四边形CDEF是菱形，则只需∠FDC=45°即可．则∠B+∠BAC+∠CAD=180°-∠FDC=135°，又∠CAD=∠EAD=∠CAE=（180°-∠BAC），推出2∠B+2∠BAC+2×=270°，∴∠BAC+2∠B=90°．
（1）证明：①在△ADE和△ADC中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC；
②∵△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．

（2）【解析】
四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC．
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF．
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．

（3）【解析】
四边形CDEF能是正方形．∠BAC+2∠B=90°．