Question

如图，等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的动点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰为△ABC面积的一半时，AE的长为    ．

Answer

可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．
【解析】
∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，
∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，
∴△ABC∽△EFG，
∴（）2=，
即（）2=，
解得EF=，
∴EG=，
过G点作GH⊥AE于点H，设AE=x，则AG=2-x，
∴∠AGH=30°，AH=AG=（2-x）=1-x，
EH=AE-AH=x-（2-x）=x-1，
在Rt△AGH和Rt△EGH中，HG2=AG2-AH2=EG2-EH2，
即（2-x）2-（1-x）2=2-（x-1）2，
整理得，3x2-6x+2=0，
解得x=．
故答案为：．