Question

如图，正方形OEFG绕着边长为12的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连接PM．若PM=5，试求AM的长；
（3）连接MN，求线段MN长度的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系．

Answer

（1）根据正方形的性质可得∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，然后利用“角边角”证明△AOM和△BON全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠POM=∠PON，然后利用“边角边”证明△POM和△PON全等，根据全等三角形对应边相等可得PN=PM，设AM=x，用x表示出AP，然后在Rt△APM中，根据勾股定理列式进行计算即可得解；
（3）设AM=x，用x表示出AN，然后在Rt△AMN中，根据勾股定理列式，然后根据二次函数的最值问题求出AM=6时线段MN长度的最小值，从而得到点M是AD的中点，然后求出点N是AB的中点，根据三角形的中位线定理可得MN与BD平行．
（1）证明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，
∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△BON中，
∵，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM=ON；

（2）∵OF是正方形OEFG的对角线，
∴∠POM=∠PON，
在△POM和△PON中，
∵，
∴△POM≌△PON（SAS），
∴PN=PM=5，
∵△AOM≌△BON，
∴BN=AM，
设AM=BN=x，则AP=AB-BN-PN=12-x-5=7-x，
在Rt△AMP中，AM2+AP2=PM2，
即x2+（7-x）2=52，
整理得，x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
所以，AM的长为3或4；

（3）设AM=BN=x，则AN=AB-BN=12-x，
在Rt△AMN中，AM2+AN2=MN2，
即MN2=x2+（12-x）2=2（x-6）2+72，
所以，当x=6，即AM=6时，线段MN的长度最小，
此时，MN==6，
AN=12-x=12-6=6，
所以，点M是AD的中点，点N是AB的中点，MN是△ABD的中位线，
MN∥BD，且MN=BD．