Question

如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为-2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径；
（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围是______

Answer

（1）知道了抛物线顶点P的横坐标，那么也就知道了抛物线的对称轴方程，点A、C的坐标可由直线AC求得，而点A、B关于抛物线对称轴对称，所以点B的坐标可得，再由待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）由A、P、B、C四点坐标不难看出：∠PBA=∠CAB=45°，那么若以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，只需找出另一组对应角相等即可，分两种情况讨论：①∠PCB=∠ABC，②∠BPC=∠ABC；在上述两种情况中，先设出点D的坐标，再表示出BD、BP、AB、AC的长，根据得到的不同比例线段，列式求出点D的坐标．知道了PD的长，由2r=求出三角形的外接圆半径．
（3）∠AEB是直角，那么点E必为以AB为直径的圆与直线l的交点，若符合条件的点E有两个，那么直线l与以AB为直角的圆有两个交点，所以在判断t的取值范围时，考虑两个方面：①先求出最大、最小值，此时直线l与以AB为直角的圆相切；②∠AEB是直角，那么点A、E或点B、E不重合，即直线l不能经过点A、B．
（4）过点F作y轴的垂线FH，过点F作x轴的垂线FG，先证明△AFG∽△CFH，根据得到比例线段列式求出点F的坐标．
【解析】
（1）由直线y=x+3知，点A（-3，0）、C（0，3）；
抛物线的顶点P的横坐标为-2，所以对称轴x=-2，则 B（-1，0）；
将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，得：
，
解得
故抛物线的解析式：y=x2+4x+3．

（2）由（1）的抛物线解析式知：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，
则顶点P（-2，-1）；
已知A（-3，0）、C（0，3），B（-1，0）、P（-2，-1）知：∠CAB=∠PBA=45°，AB=2、AC=3、BP=；
①当∠ABC=∠BPD1时，△ABC∽△BPD1，得：
=，即 =，BD1=3；
则D1（-4，0），则 PD1=；
故△PBD外接圆半径 r1====；
②当∠ABC=∠BD2P时，△ABC∽△BD2P，得：
=，即 =，BD2=；
则D2（-，0），则 PD2=；
故△PBD外接圆半径 r2====；
综上，有两组解分别是：①P（-2，-1），D1（-4，0），r1=；②P（-2，-1），D2（-，0），r2=．

（3）若∠AEB为直角，那么点E在以AB为直径的⊙Q上，那么点E为直线l与⊙Q的交点（如右图）；
取与直线l平行，且与⊙Q相切的直线l′、l″，如右图，设切点分别为M、N；
∵直线l∥直线l′∥直线l″，且它们的斜率k=1，
∴∠MKQ=∠NQL=45°．
Rt△KMQ中，QM=AB=1，∠MKQ=45°，则 KQ=，
同理可得 QL=；
∴K（-2-，0）、L（-2+，0）；
若直线l与⊙Q始终有两个交点，那么直线l必在直线l′、l″之间，由于直线l与x轴交点为（-t，0），有：
-2-＜-t＜-2+，即 2-＜t＜2+；
而∠AEB是直角，那么点A与点E以及点B与点E都不重合，即直线l不经过点A、B，所以，-t≠-1，且-t≠-3；
综上，t的取值范围：2-＜t＜2+，且t≠1、t≠3．

（4）设点F（x，x2+4x+3），若∠AFC=90°，那么点F在y轴左侧；
①当点F在x轴下方时，过点F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴于H，如图①；
OG=FH=-x，FG=OH=-（x2+4x+3），
AG=OA-OG=3-（-x）=3+x，CH=OC+OH=3-（x2+4x+3）=-（x2+4x）；
∵∠FAC+∠ACF=90°，即∠CAG+∠FAG+∠ACF=90°，又∠CAG=45°，
∴∠FAG+∠ACF=45°；
∵∠ACO=∠ACF+∠FCH=45°，
∴∠FAG=∠FCH；
又∵∠AGF=∠CHF，
∴△AFG∽△CFH，得：
=，即 =，
解得：x1=、x2=（舍）；
则F（，）；
②当点F在x轴上方时，如图②；
同①求得 F（，）．
综上，点F的坐标为：（，）或（，）．