Question

已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x²-x-3=0的两个实数根，设S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ．根据根的定义，有α²-α-3=0，β²-β-3=0将两式相加，得（α²+β²）-（α+β）-6=0，于是，得S₂-S_l-6=0．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出S₁，S₂的值；
（2）求出S₃的值，并猜想：当n≥3时，S_n，S_n-1，S_n-2．之间满足的数量关系为______；
（3）直接填出 的值为______．

Answer

（1）此小题只需对x2-x=3配方解得x的值即为α，β的值，再由s1=α+β，s2=α2+β2求得s1，s2的值；
（2）根据S3=α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）结合（1）求出，猜想得到sn=sn-1+3sn-2，再根据根的定义证明即可；
（3）由（2）可得出 即为S5的值，依次计算求得S5的值即可．
【解析】
（1）移项，得x2-x=3，
配方，得x2-2×x×+（）2=3+（）2，
即（x-）2=，
开平方，得x-=±，即x=，
所以，α=，β=．
于是，s1=α+β=1，s2=α2+β2=7；

（2）∵s1=α+β=1，s2=α2+β2=7
∴S3=α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=1×（7-×）=10，
猜想：sn=sn-1+3sn-2．
证明：根据根的定义，α2-α-3=0，
两边都乘以αn-2，得 αn-αn-1-3αn-2=0，①
同理，βn-βn-1-3βn-2=0，②
①+②，得（αn+βn）-（αn-1+βn-1）-3（αn-2+βn-2）=0，
因为 sn=αn+βn，sn-1=αn-1+βn-1，sn-2=αn-2+βn-2，
所以 sn-sn-1-3sn-2=0，
即sn=sn-1+3sn-2．
故答案为：sn=sn-1+3sn-2．

（3）【解析】
由（1）知，s1=1，s2=7，S3=10，
由（2）中的关系式可得：
s3=s2+3s1=10，s4=s3+3s2=31，s5=31+3×10=61．
故答案为：61．