Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

Answer

（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；
（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
将D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），得：
3=3a，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；

（2）∵过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6
∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，
∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B点坐标为：（2，4），
一次函数解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
当点B在x轴下方，
∵抛物线的对称轴和x轴围成的面积为6，
∴B′C=4，
∴B′（2，-4），
∴，
∴
可得：y=-x-；

（3）过点P作FP⊥AB，设半径PC=PF=r，当点B在x轴上面时，
∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，即=∴r=1.5，
∵B点坐标为：（2，4），
∴P点坐标为：（2，1.5），
如图2，∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，
即=，
∴r=6，
∴P点坐标为：（2，-6），
当点B在x轴的下面，同理可得出P点坐标为：（2，-1.5）和（2，6），
∴P点坐标有4种情况：（2，-1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，-6）．