Question

已知：△ABC中，AB＜BC，AC的中点为M，MN⊥AC交∠ABC的角平分线于N．
（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：BA+BC=BN；
（2）如图2，若∠ABC=120°，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

Answer

（1）连接AN、CN，过点N作NE⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AN=NC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NF，然后利用“HL”证明Rt△ANE和Rt△CNF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后求出BA+BC=2BF，在Rt△BNF中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得证；
（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，然后利用“边角边”证明△ABN和△ABE全等，根据全等三角形对应边相等可得NA=NE，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得NA=NC，从而得到NE=NC，过点N作NF⊥BC于点F，根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=EC，然后表示出BF，在Rt△BFN中，利用∠NBF的余弦值列式整理即可得解．
（1）证明：连接AN、CN，过点N作NE⊥AB于点E，NF⊥BC于点F，
∵BN是∠ABC的角平分线，
∴NE=NF，
∵AC的中点为M，MN⊥AC，
∴AN=NC，
在Rt△ANE和Rt△CNF中，，
∴Rt△ANE≌Rt△CNF（HL），
∴AE=CF，
∴BA+BC=BE-AE+BF+CF=2BF，
∵∠ABC=60°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=×60°=30°，
∴cos30°===，
∴BA+BC=BN；

（2）连接AN、CN，在BC上截取BE=AB，
∵BN是∠ABC的角平分线，
∴∠ABN=∠EBN，
在△ABN和△ABE中，，
∴△ABN≌△ABE（SAS），
∴NA=NE，
∵AC的中点为M，MN⊥AC，
∴NA=NC，
∴NE=NC，
过点N作NF⊥BC于点F，
则EF=EC=（BC-BA），
∴BF=BE+EF=BA+（BC-BA）=（BC+BA），
∵∠ABC=120°，BN平分∠ABC，
∴∠NBF=×120°=60°，
∴cos60°===，
∴BA+BC=BN．