Question

一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，DAC与BD交于点K，连接CD．对于下述结论：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；
②AN=BM．
③AB∥CD；不论点A，B在反比例函数的图象的同一分支上（如图1）；还是点A，B分别在反比例函数的图象的不同分支上（如图2），都正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

在图1中，设A（a，b）B（m，n），代入反比例函数求出ab=k，mn=k，求出S四边形AEOC=S四边形BDOF=k，即可判断①；连接AD，BC，过D作DZ⊥AB于Z，过C作CH⊥AB于H，根据三角形面积公式求出S△ADC=S△BDC，推出DZ=CH，得出四边形DCHZ是矩形，推出DC∥AB，求出四边形ANDC和四边形BMCD都是平行四边形，推出AN=BM=DC，即可判断②③；在图2中，解的过程与在图1中类似．
【解析】
设A（a，b），B（m，n），
∵A、B都在反比例函数的图象上，
∴代入得：ab=k，mn=k，
∴S四边形AEOC=OC×AC=ab=k，
S四边形BDOF=OF×BF=mn=k，
∴S四边形AEOC=S四边形BDOF，
∴S四边形AEOC-S四边形DKCO=S四边形BDOF-S四边形DKCO，
∴S四边形AEDK=S四边形CFBK，∴①正确；
图1中，连接AD，BC，过D作DZ⊥AB于Z，过C作CH⊥AB于H，
∵S△ADC=AC×DK=ab=k，S△BCD=BD×CK=mn=k，
∴S△ADC=S△BDC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出DZ=CH，
∵DZ∥CH，∠ZDC=90°，
∴四边形DCHZ是矩形，
∴DC∥AB，
∵AC∥ON，DB∥OM，
∴四边形ANDC和四边形BMCD都是平行四边形，
∴AN=DC，BM=DC，
∴AN=BM，∴在图1中②正确；③正确；
在图2中，连接AD，BC，
∵S四边形AEDK=S四边形AEOC+S四边形OCKD，S四边形BFCK=S四边形BFOD+S四边形OCKD，
又∵S四边形AEOC=S四边形BFOD=k，
∴S四边形AEDK=S四边形BFCK，
∴AK×DK=BK×CK，
∴=，
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴DC∥AB，
∵AC∥DE，
即AN∥CD，AC∥DN，
∴四边形DNAC是平行四边形，
∴AN=CD，
同理BM=CD，
∴AN=BM，∴在图2中，②正确；③正确；
故选D．