Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．下面结论错误的是（ ）

A．△ABM≌△CDN
B．AM=AC
C．DN=2NF
D．△AME∽△DNC

Answer

由在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，可证得四边形BFDE是平行四边形，继而可利用AAS判定△ABM≌△CDN；易证得△AME∽△CMB，△AND∽△CNF，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AM=AC，DN=2NF．
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AB=CD，AD=BC，
∵E、F分别是边AD、BC的中点，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠AMB=∠ANF=∠CND，∠EBF=∠EDF，
∴∠ABM=∠CDN，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（AAS）；
故A正确；
∵AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，
∴AE：BC=AM：CM=1：2，
∴AM=AC；
故B正确；
∵AD∥BC，
∴△AND∽△CNF，
∴AD：CF=DN：NF=2，
∴DN=2NF；
故C正确；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB∽△CNF∽△AND，△ABM∽△CND，
但△AME与△DNC不一定相似．
故D错误．
故选D．