Question

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC与AD的延长线相交于E，且AD⊥
PD，垂足为D．
（1）求证：AB=AE；
（2）若△ABE是等边三角形，求AB：BP的值．

Answer

（1）本题可连接OC，通过证明OC是三角形ABE的中位线，得出OC是AE的一半，根据AB是直径，OC是半径，那么AB=2OC，从而得出AE=AB；
（2）由△ABE是等边三角形，易得△OBC是等边三角形，继而可证得△PBC是等腰三角形，可证得BC=BP=OC，即可求得AB：BP的值．
（1）证明：连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD；
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD；
∵O是AB的中点，
∴OC=AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴OC=AB，
∴AB=AE．

（2）【解析】
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=BC，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠PCB=∠OBC-∠P=30°，
∴∠PCB=∠P，
∴BC=BP，
∴BP=OC，
∴AB：BP=2：1．