Question

等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．

（1）△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
（2）从△ABC的边与圆第一次相切到最后一次相切，共经过多少时间？
（3）是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形各运动了多少时间；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当△ABC第一次与圆相切时，应是AC与圆相切．如图，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理，以及直角三角形的性质可求得CD的值，进而求得CC′的值，从而求得点C运动的时间，也就有了点运动的时间，点B移动的距离可求得；
（2）△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，应为AB与圆相切，路程差为6，速度差为1，故从开始运动到最后一次相切的时间为6秒．
（3）若圆能在△ABC的内部时，则存在；若圆O不能在三角形的内部，则不存在；即求在（2）条件下，AC与圆的位置关系即可．
【解析】
（1）设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长交B′C′于F．
设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l，
由切线长定理可知C′E=C′D，设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=x，
∴x+x=1，
解得：x=-1，
∴CC′=5-1-（-1）=5-，
∴点C运动的时间为（5-）÷（2+0.5）=2-，
则点B运动的距离为2×（2-）=4-；

（2）∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，是AB与圆相切，且圆在AB的左侧，
故路程差为6，速度差为1，
∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒；

（3）不存在，理由为：△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积，即使△ABC的三边与⊙O相切，
∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1，
∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A″B″C″处，A″B″=1+4×=3，
连接B″O并延长交A″C″于点P，易证B″P⊥A″C″，且OP=-=＜1，
∴此时⊙O与A″C″相交，
∴不存在．