Question

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，连接OP．
（1）求证：PA=PB；
（2）若⊙O的半径为2，PA=2，求阴影部分面积．

Answer

（1）连接OA、OB，利用切线的性质和全等三角形的证明方法证明Rt△PAO≌Rt△PBO即可；
（2）利用三角形的面积公式及扇形的面积公式求出四边形PAOB的面积与扇形OAB的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积．
（1）证明：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
又∵OA=OB，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∵PO=PO，OA=OB，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）．
∴PA=PB；
（2）【解析】
由（1）知△PAO≌△PBO，
∴∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP．
在Rt△PAO中，OA=2，PA=2，
tan∠APO==，
∴∠APO=30°，∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°，
S阴影=S四边形APBO-S扇形=2S△PAO-S扇形=2××2×2-=4-．