Question

如图，已知抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，已知点B（8，0），tan∠OCB=2，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若平行于x轴的动直线EF从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发在线段BO上以每秒2个单位的速度运动，连接PF、AF，设运动时间为t秒．△AFP的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在t值，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据点B（8，0），tan∠OCB=2可求出OC的长，进而得出C点坐标，由△ABC的面积为8可求出AB的长，故可得出A点坐标，设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入即可求出a、b、c的值，进而得出结论；
（2）由PB=2t，CE=t，可知OE=4-t，△AFP的高等于OE，再根据0≤t≤2时，AP=4-2t和2＜t≤4时AP=2t-4，由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）在Rt△OBC中，由OB=8，OA=4，可求出BC的长，在Rt△EFC中，由tan∠OCB=2，EC=t，可得出EF，CF的表达式，再由BP=2t可得出BF=BC-CF，由于在△ABC与△BFP中两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△PBF和△ABC∽△FBP两种情况进行讨论．
【解析】
（1）在Rt△OBC中，
∵点B（8，0），tan∠OCB==2，
∴OC=4，即点C坐标为（0，-4）．
∵S△ABC=AB•OC=8，
∴AB=4．
∴点A的坐标为（4，0）．
设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，
∵点C（0，-4），则c=-4，
又∵抛物线过点A（4，0），B（8，0），
∴，
解得，
故所求抛物线的表达式为y=-x2+x-4；

（2）∵PB=2t，CE=t，
∴OE=4-t，△AFP的高等于OE．
①当0≤t≤2时，AP=4-2t，
S=AP•OE=（4-2t）（4-t）=t2-6t+8；
②当2＜t≤4时，AP=2t-4，
S=AP•OE=（2t-4）（4-t）=-t2+6t-8．
故S=；    

（3）在Rt△OBC中，
∵OB=8，OA=4，
∴由勾股定理得BC=4．
在Rt△EFC中，
∵tan∠OCB=2，EC=t
∴EF=2t，CF=t．
∵BP=2t，
∴BF=BC-CF=4-t=（4-t）．
在△ABC与△BFP中，有公共角∠B．
①当=时，△ABC∽△PBF．此时=，解得t=．
②当=时，△ABC∽△FBP．此时=，解得t=．
综上所述，当t=或t=时，△ABC与△PBF相似．