Question

北京时间2010年4月14日，青海省玉树藏族自治州玉树县发生7.1级地震，为了支援灾区学校，某工厂计划生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决灾区学校1250名学生的学习问题．已知一套A型桌椅（一桌两椅可坐2人）需木料0.5x³，一套B型桌椅（一桌三椅可坐3人）需木料0.7m³，工厂现有库存木料302m³．
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）
（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由题意得出不等式组，求出不等式组得解集即可；
（2）分别求出A型桌椅的费用（100+2）x和B型桌椅的费用（120+4）（500-x），即可得出总费用，y=-22x+62000，根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当x取最大值时，y有最小值；
（3）分别求出A和B型桌椅所用的木料，相加即可得出有剩余木料，即可求出产A或B种型号的学生桌椅和还可以解决几名同学的桌椅问题．
【解析】
（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由题意得
，
解得：240≤x≤250，
因为x是整数，所以有11种生产方案；

（2）y=（100+2）x+（120+4）×（500-x）
=-22x+62000，
∵-22＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=250时，y有最小值，
即当生产A型桌椅250套，B型桌椅250套时，总费用最小，
此时，y的最小值是-22×250+62000=56500（元）；

（3）有剩余木料，生产A种型号的学生桌椅[302-（0.5×250+0.7×250）]÷0.5=4（套），还可以解决4×2=8名同学的桌椅问题；或生产B种型号的学生桌椅[302-（0.5×250+0.7×250）]÷0.7≈2（套），还可以解决2×3=6名同学的桌椅问题；
答：有剩余木料，生产A种型号的学生桌椅4套，或生产B种型号的学生桌椅2套，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．