Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E．
（1）①求证：△ABE∽△ADB；②若AE=2，ED=4，求⊙O的面积；
（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，若AC∥FD，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）①由AB=AC可得弧AB=弧AC，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等有∠D=∠ABC，根据相似三角形的判定易得到△ABE∽△ADB；
②由△ABE∽△ADB，AB：AD=AE：AB，即AB2=AE•AD，可计算出AB=2，由BD为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠BAD=90°，然后根据勾股定理有BD2=AB2+AD2=12+（2+4）2=48，则可计算出BD=4，再利用圆的面积公式计算即可；
（2）连OA，则AB=BF=OB=OA=2，可得到△OAB为等边三角形，则∠OAB=∠OBA=60°，并且有∠F=∠FAB，则∠FAB=30°，于是得到∠FAO=30°+60°=90°，即有FA⊥OA，根据切线的判定定理即可得到直线FA与⊙O相切．
（1）①证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴∠D=∠ABC，
而∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB；
②【解析】
∵△ABE∽△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB2=AE•AD，
而AE=2，ED=4，
∴AB2=2×（2+4）=12，
∴AB=2，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD2=AB2+AD2=12+（2+4）2=48，
∴BD=4，
∴⊙O的面积=π（）2=12π；

（2）【解析】
直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA．
∵BD=4，
∴BF=OB=OA=2，
而AB=2，
∴AB=BO=OA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=60°，
而BF=AB，
∴∠F=∠FAB，
而∠ABO=∠F+∠FAB=60°，
∴∠FAB=30°，
∴∠FAO=30°+60°=90°，
∴FA⊥OA，
∴直线FA与⊙O相切．