Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证：AE=BF；
（3）若OG⋅DE=3（2-），求⊙O的面积．

Answer

（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；
（2）先证明△ACE与△BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；
（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．
（1）【解析】
猜想OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD，
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．
∴AE=BF．

（3）【解析】
如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH=AD，即AD=2OH，
又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴，即BD2=AD•DE．
∴．
又BD=FD，∴BF=2BD，
∴①，
设AC=x，则BC=x，AB=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD=∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF-AC=．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
②，
由①、②，得，
∴x2=12，解得或（舍去），
∴，
∴⊙O的半径长为．
∴S⊙O=π•（）2=6π．