Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-nx²-与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求n的值．
（2）求点A、B的坐标；
（3）求证：AC⊥CB．

Answer

（1）将点C（0，-2）代入抛物线y=-nx2-，即可得到关于n的方程，解方程即可求得n的值；
（2）将n的值代入抛物线的解析式得：y=，A，B是抛物线与x轴的交点，即：=0，解方程求得x的值，从而得到点A、B的坐标；
（3）根据勾股定理求得AC2，BC2的值，根据点A、B的坐标可求AB的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明AC⊥CB．
解（1）抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-2），则
2n-1=-2，
解得n=；

（2）将n=-代入抛物线的解析式得：y=，
A，B是抛物线与x轴的交点，即：=0，
解得：x1=4，x2=-1，
则A的坐标为（-1，0），B的坐标为（4，0）；

（3）OA=1，OC=2，AC2=5，OB=4，BC2=20，AB=5，
故：AC2+AC2=5+20=25=AB2，
所以AC⊥CB．