Question

如图，在□ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，∠B=120°，E是BC的中点，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CD向终点D运动，同时动点Q从点A出发，以4cm/s的速度沿AB向终点B运动，当它们有一个到达终点时，另一个也随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形AQPD为平行四边形？
（2）设DQ²=y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在运动的过程中是否存在某一时刻，使得△CPE与△DPQ相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先由四边形ABCD是平行四边形可得出CD∥AB，由CD=AB=4cm，E是BC的中点可得出BC的长，欲使四边形AQPD为平行四边形，只要AQ=DP，再用t分别表示出AQ及DP的长，求出t的值即可；
（2）过点D作DF⊥AB交AB于F，在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义可求出AF、DF的长，在Rt△DFQ中，由勾股定理即可得出y与t的函数关系式，根据AB=4cm，Q点的速度为4cm/s，可求出t的取值范围；
（3）先由相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△CPE，由于两三角形相似的对应边不能确定，故应分三种情况进行讨论：
①当∠A=∠DPQ=60°时，由AB∥CD可知∠PDQ=∠AQD，再根据△ADQ∽△PDQ，AQ=DP可得出4-2t=4t，故可求出t的值；
②当∠DQP=∠A=60°时，由∠PDQ=∠AQD，△ADQ∽△PDQ，可知，故可得出关于t的一元二次方程，求出t的值即可；
③当∠PDQ=∠A=60°，由∠PDQ=∠AQD=∠A=60°可知△PDQ为等边三角形，故DP=AQ=AD=2，即4-2t=2，解得t=1，而t=1时，Q已到终点，故不可能．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=4cm，
∵E是BC的中点，BC=2cm，
∴欲使AQPD为平行四边形，只要AQ=DP．
∵动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CD向终点D运动，同时动点Q从点A出发，以4cm/s的速度沿AB向终点B运动，
∴AQ=4t，DP=CD-CP=4-2t，
∴4-2t=4t，
∴t=；

（2）如图1，过点D作DF⊥AB交AB于F，
∵∠B=120°，AD=2cm，
∴∠A=60°，
在Rt△ADF中，
AF=ADcos60°=2×0.5=1cm
DF=ADsin60°=
在Rt△DFQ中，
DQ2=，依题意，DQ2=y即y=16t2-8t+4，
∵AB=4cm，Q点的速度为4cm/s
∴0＜t≤1；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=4cm，
∵AD=BC=2cm，∠A=∠C=60°E为BC的中点，CP=2t，AQ=4t，
∴△ADQ∽△CPE，
①如图2，当∠A=∠DPQ=60°时，
∵AB∥CD，
∴∠PDQ=∠AQD
∵△ADQ∽△PDQ，AQ=DP
∴4-2t=4t，
∴t=；
②如图3，当∠DQP=∠A=60°时，
∵∠PDQ=∠AQD，，
∴DQ2=AQ•PD，即16t2-8t+4=4t（4-2t）6t2-6t+1=0，
，
；
③如图4，若∠PDQ=∠A=60°，
∵∠PDQ=∠AQD=∠A=60°
∴△PDQ为等边三角形，
∴DP=AQ=AD=2，即4-2t=2，解得t=1，
而t=1时，Q已到终点，故不可能．
综上所述，当t=秒，时，△PDQ∽△CPE．