Question

如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．

Answer

通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．
证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=EC．
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）连接GH，

∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，
∴GH∥BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．