Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，直线l满足条件：点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半．问这样的直线l有几条？请画图说明，并求点C到直线l的距离．

Answer

根据点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，得出平行于AB的两条直线，再利用等腰三角形的性质得出过AB中点以及过l1与AC交点D的直线，进而得出另一条直线，利用三角形面积求出即可．
【解析】
如图所示：这样的直线l有4条；
过C作CM⊥l1，垂足分别为M、N，交AB于O，
∵l2∥l1∥AB，
∴CM⊥l2，
∵AC=BC=6，
∴CO⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴AB==6，
CO=AB=3，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴CM=2，
即C到直线l的距离为2，
同理可得出：ON=CO=3，CN=6，
将l1与AC交点D，与O连接，
∵CM=2，l2∥l1∥AB，
∴CM=DM=2，MO=3-2=，
∵∠DMO=90°，
∴DO==，
作CE⊥DO，AF⊥DO交OD延长线于点F，
∵点A、B到直线l的距离相等，并等于点C到直线l的距离的一半，
∴AF=EC，
∴S△CDO=2S△ADO，
∴S△CDO=S△ACO=×AO•CO=×3×3=12，
S△CDO=×CE×DO=×EC×=12，
解得：CE=，
同理可得：与CO对称的直线l3，
此时C到直线距离为，
综上所述：C到直线l的距离为2、6、、．