Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P为△ABC所在平面上一点，PA=PB，且S_△PBC=S_△ABC，求PA的长．

Answer

利用勾股定理列式求出AB的长度，根据等底等高的三角形面积相等可得点P到BC的距离等于点A到BC的距离相等，然后分①点A、P在BC的同侧时，PA∥BC，过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点D是AB的中点，然后求出AD的长，再利用∠PAD的余弦值列式求解即可；②点A、P在BC异侧时，过点P作PD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，过点P作PE⊥BC相交于点E，先求出PE的长度，再根据同角的余角相等求出∠PDE=∠BAC，然后利用∠PDE的余弦值列式求解即可得到PD，在Rt△APD中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解析】
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵S△PBC=S△ABC，
∴点P到BC的距离等于AC的长度，为6，
①如图1，点A、P在BC的同侧时，∵点A、P到BC的距离相等，
∴PA∥BC，
∴∠PAD=∠ABC，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵PA=PB，
∴AD=AB=×10=5，
∵cos∠PAD==，cos∠ABC===，
∴=，
解得PA=；
②如图2，点A、P在BC异侧时，过点P作PD⊥AB于D，
∵PA=PB，
∴AD=AB=×10=5，
过点D作DE∥BC，过点P作PE⊥BC相交于点E，
∵点D是AB的中点，
∴点E到BC的距离为AC=×6=3，
∴PE=3+6=9，
∵∠BAC+∠ADE=90°，∠ADE+∠PDE=90°，
∴∠PDE=∠BAC，
∵cos∠PDE==，cos∠BAC===，
∴=，
解得PD=，
在Rt△APD中，PA===，
综上所述，PA的长为或．