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在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点,EF⊥CE交AD于点F,...

在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点,EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N.
(1)如图a,当点H与点F重合时,求BE的长;
(2)如图b,当点H在线段FD上时,设BE=x,DN=y,求y与x之间的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)连接AC,当△FHE与△AEC相似时,求线段DN的长.
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(1)由已知条件证明BE=BC即可求出BE的长; (2)过点E作EG⊥CN,垂足为点G,利用矩形的性质和等腰三角形的性质证明CN=2CG=2BE,即可得到y与x之间的函数关系式; (3)首先证明∠HFE=∠AEC,当△FHE与△AEC相似时,再分∠FHE=∠EAC和∠FHE=∠ECA两种情况求出满足题意的DN的值即可. 【解析】 (1)∵EF⊥EC, ∴∠AEF+∠BEC=90°, ∵∠AEF=∠BEC, ∴∠AEF=∠BEC=45°, ∵∠B=90°, ∴BE=BC, ∵BC=3, ∴BE=3; (2)过点E作EG⊥CN,垂足为点G, ∴四边形BEGC是矩形, ∴BE=CG, ∵AB∥CN, ∴∠AEH=∠ENC,∠BEC=∠ECN, ∵∠AEH=∠BEC, ∴∠ENC=∠ECN, ∴EN=EC, ∴CN=2CG=2BE, ∵BE=x,DN=y,CD=AB=4, ∴y=2x-4(2≤x≤3); (3)∵∠BAD=90°, ∴∠AFE+∠AEF=90°, ∵EF⊥EC, ∴∠AEF+∠CEB=90°, ∴∠AFE=∠CEB, ∴∠HFE=∠AEC, 当△FHE与△AEC相似时, (ⅰ)若∠FHE=∠EAC, ∵∠BAD=∠B,∠AEH=∠BEC, ∴∠FHE=∠ECB, ∴∠EAC=∠ECB, ∴tan∠EAC=tan∠ECB, ∴, ∵AB=4,BC=3, ∴BE=, ∵设BE=x,DN=y,y=2x-4, ∴DN=; (ⅱ)若∠FHE=∠ECA,如所示,设EG与AC交于点O, ∵EN=EC,EG⊥CN, ∴∠1=∠2, ∵AH∥EG, ∴∠FHE=∠1, ∴∠FHE=∠2, ∴∠2=∠ECA, ∴EO=CO, 设EO=CO=3k,则AE=4k,AO=5k, ∴AO+CO=8k=5, ∴k=, ∴AE=,BE=, ∴DN=1, 综上所述,线段DN的长为或1时△FHE与△AEC相似.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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