满分5 > 初中数学试题 >

如图,直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作⊙C,抛...

如图,直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直径作⊙C,抛物线y=ax2+bx+c过A、C、O三点.
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式;
(2)过点B作直线与x轴交于点D,且OB2=OA•OD,求证:DB是⊙C的切线;
(3)抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
manfen5.com 满分网
(1)根据直线AB的解析式,易求得A、B的坐标,由于C是AB的中点,根据A、B的坐标即可求出C点的坐标,进而可根据O、A、C三点的坐标确定抛物线的解析式; (2)将OA、OB的长代入所给的乘积式中,即可求出OD的长,此时发现OA=OB=OD,由此可证得△ABD是等腰直角三角形,即BD⊥AB,由此可判定DB是⊙C的切线; (3)连接OC,在前面两题中已经证得O、C分别是AD、AB的中点,则OC是△ABD的中位线,由此可求得∠OCA=90°,若以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形,可有两种情况: ①以AC、OP为底,OC为高,可先求出直线AC的解析式,由于直线OP与直线AC平行,则它们的斜率相等,由此可求出直线OP的解析式,联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标; ②以OC、AP为底,AC为高,方法同①. 【解析】 (1)A(6,0),B(0,6)(1分) 连接OC,由于∠AOB=90°,C为AB的中点,则, 所以点O在⊙C上(没有说明不扣分); 过C点作CE⊥OA,垂足为E,则E为OA中点,故点C的横坐标为3; 又点C在直线y=-x+6上,故C(3,3);(2分) 抛物线过点O,所以c=0, 又抛物线过点A、C, 所以, 解得:; 所以抛物线解析式为;(3分) (2)OA=OB=6代入OB2=OA•OD,得OD=6;(4分) 所以OD=OB=OA,∠DBA=90°;(5分) 又点B在圆上,故DB为⊙C的切线;(6分) (通过证相似三角形得出亦可) (3)假设存在点P满足题意, 连接OC,因C为AB中点,O在圆上, 故∠OCA=90°, 要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形, 则∠CAP=90°或∠COP=90°,(7分) 若∠CAP=90°,则OC∥AP, 因OC的方程为y=x, 设AP方程为y=x+b; 又AP过点A(6,0),则b=-6,(8分) 方程y=x-6与联立解得:,; 故点P1坐标为(-3,-9);(9分) 若∠COP=90°,则OP∥AC,同理可求得点P2(9,-9); (用抛物线的对称性求出亦可) 故存在点P1坐标为(-3,-9)和P2(9,-9)满足题意.(10分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为manfen5.com 满分网个平方单位?

manfen5.com 满分网 查看答案
荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售,经与春晨运输公司协商,计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆,用这6辆汽车一次将货物全部运走,其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨,每辆乙型汽车最多能装该种货18吨.已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元;租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元,且同一种型号汽车每辆租车费用相同.
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?
(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元.通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来,并求出最低的租车费用.
查看答案
如图,点P是正方形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E、F.
(1)求证:PD=EF;
(2)猜想PD与EF的位置关系,不必说明理由.
(3)设正方形的边长为4,点P在AC上移动(点P不与A、C重合),AP的长为x,△PEF的面积为S,试写出S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.

manfen5.com 满分网 查看答案
EQ在边长为1的正方形网格中,有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P.
(1)将图案①进行平移,使A点平移到点E,画出平移后的图案;
(2)以点M为位似中心,在网格中将图案①放大2倍,画出放大后的图案,并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD;
(3)在(2)所画的图案中,线段CD被⊙P所截得的弦长为______
查看答案
如图,在海岸边有一港口O.已知:小岛A在港口O北偏东30°的方向,小岛B在小岛A正南方向,OA=60海里,OB=20manfen5.com 满分网海里.计算:
(1)小岛B在港口O的什么方向;
(2)求两小岛A,B的距离.

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.