Question

如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．

Answer

（1）根据题意画出图形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；
（2）过D作DM⊥BC于M，得出四边形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，设AF=CE=a，则BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，证△FBE∽△EMD，得出比例式=，求出a即可．
【解析】
（1）当F和B重合时，
∵EF⊥DE，
∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=EF=9，
∴CE=BC-EF=12-9=3；

（2）过D作DM⊥BC于M，
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴DM∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，
设AF=CE=a，则BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，
∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，
∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，
∴△FBE∽△EMD，
∴=，
∴=，
a=5，a=17，
∵点F在线段AB上，AB=7，
∴AF=CE=17（舍去），
即CE=5．