Question

菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：
①BF为∠ABE的角平分线； ②DF=2BF；③2AB²=DF•DB；④sin∠BAE=．
其中正确的为（ ）

A．②③
B．①②④
C．①③④
D．①④

Answer

由四边形ABCD是菱形，即可得BF为∠ABE的角平分线；可得①正确；由当∠ABC=60°时，DF=2BF，可得②错误；连接AC，易证得△AOD∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DF=OD：AD，继而可得2AB2=DF•DB，即④正确；连接FC，易证得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF=∠BAE，AF=CF，然后由正弦函数的定义，可求得④正确．
【解析】
①∵四边形ABCD是菱形，
∴BF为∠ABE的角平分线，
故①正确；

②连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∴当∠ABC=60°时，△ABC是等边三角形，
即AB=AC，
则DF=2BF，
∵∠ABC的度数不定，
∴DF不一定等于2BF；
故②错误；

③∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠FAD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=DB，AD=AB，
∴∠AOD=∠FAD=90°，
∵∠ADO=∠FDO，
∴△AOD∽△FAD，
∴AD：DF=OD：AD，
∴AD2=DF•OD，
∴AB2=DF•DB，
即2AB2=DF•DB；
故③正确；

④连接CF，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，
在Rt△EFC中，sin∠ECF==，
∴sin∠BAE=．
故④正确．
故选C．