Question

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，点E在BC上，以AE为边作正方形AEMN，EM交AB于F，连接BM．
（1）求证：BM⊥AB；
（2）若CE=2BE，求的值．

Answer

（1）连接AM，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△ACE～△ABM，即可得出∠ABM=∠ACE=90°；
（2）过M作GM∥BC交AB于G，由△ACE～△ABM得BM=CE，设BE=1，则CE=2，BM=2，在Rt△BGM中，MG=BM=4，由BC∥MG得出AE=EM=5EF，则=5．
（1）证明：连接AM．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠CAB=45°，AC：AB=1：，
∵AEMN是正方形，
∴∠EAM=45°，AE：AM=1：，
∴∠CAB=∠EAM，
∴∠CAE=∠BAM=45°-∠EAB．
在△ACE与△ABM中，AC：AB=AE：AM，∠CAE=∠BAM，
∴△ACE～△ABM，
∴∠ACE=∠ABM=90°，
即BM⊥AB；

（2）过M作GM∥BC交AB于G，则∠BGM=∠ABC=45°，△BGM为等腰直角三角形．
∵△ACE～△ABM，
∴CE：BM=AC：AB=1：，
∴BM=CE．
设BE=1，则CE=2BE=2，BM=2，MG=BM=4，
∵BC∥MG，
∴EF：FM=BE：GM=1：4，
∴FM=4EF，EM=5EF，
∴AE=EM=5EF，
∴=5．