Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式中，二次项和一次项系数都含有相同的未知数，可先确定抛物线的对称轴，而AB的长已知，可据此确定点A、B的坐标；再根据已知点（2，3）可求出抛物线的解析式．
（2）首先求出点B、C、D三点坐标，此时发现△BDC恰好是直角三角形，且DC⊥BC，那么点D正好符合点P的要求；显然在直线BC下方还有一个符合条件的点P，可将点B视作顶角顶点、BD为腰作一个等腰三角形（此时可在直线BC下方作出一个与∠DBC相等的角），先确定第三个顶点的坐标，求出此点所在腰的直线解析式后联立抛物线即可求出另一点P．
（3）根据抛物线的对称性，不难确定点K的坐标．由题意，A、F都在x轴上，所以无论AF是边还是对角线，点G的纵坐标必为3或-3（与K相同或互为相反数），先代入抛物线确定出点G的坐标后，再根据A、K的坐标和平行四边形的特点确定点F的坐标．
【解析】
（1）抛物线的对称轴：x=-=-=1，且AB=4，则 A（-1，0）、B（3，0）；
再代入点（2，3）后，可得：
，解得
∴二次函数的表达式：y=-x2+2x+3．

（2）由（1）知：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则 D（1，4）；
BC2=18、CD2=2、BD2=20，∴BC2+CD2=BD2，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即点D符合点P的要求，P1（1，4）．
延长DC至E，使得DC=CE，则△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，则直线BE与抛物线的交点也符合点P的要求（B点除外）
通过图示，不难看出 点D、E关于点C对称，则 E（-1，2），设直线BE：y=kx+b，则有：
，解得
∴直线BE：y=-x+，联立抛物线的解析式后，得：
，解得（舍）、
∴P2（-，）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（1，4）、（-，）．

（3）易知点K（2，3）；
由题意，A、F都在x轴上，根据平行四边形的特点不难看出点G的纵坐标为3或-3；
当yG=3时，-x2+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G点坐标为（0，3），
此时点F的坐标为（-1-2，0）或（-1+2，0），即（-3，0）、（1，0）；
当yG=-3时，-x2+2x+3=-3，解得 x=1±，
∴G点坐标为（1+，-3）或（1-，-3），
此时点F的坐标为（4+，0）、（4-，0）；
综上，有四个符合条件的点F，且坐标为（-3，0）、（1，0）、（4+，0）、（4-，0）．