Question

如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=，AO=3，BO=1．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求▱ABCD的周长．

Answer

（1）根据勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，继而得出AC⊥BD；
（2）根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可知AB=BC=CD=DA，继而即可求出▱ABCD的周长．
【解析】
（1）∵AB=，AO=3，BO=1，
∴AB2=10=AO2+BO2=9+1，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，
∴AC⊥BD；
（2）由（1）知AC⊥BD，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形），
∴AB=BC=CD=DA，
∴▱ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4AB=4．