Question

数学兴趣小组对二次函数y=ax²+2x+3（a≠0）的图象进行研究得出一条结论：无论a取任何不为0的实数，抛物线顶点p都在某一条直线上．请你用“特殊-一般-特殊”的数学思想方法进行探究：
（1）完成下表

a的取值	-1	1
顶点p的坐标

并猜想抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）顶点p所在直线的解析式；
（2）请对（1）中所猜想的直线解析式加以验证、在所求的直线上有一个点不是抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）的顶点，请你写出它的坐标；
（3）当a=-1时，则抛物线y=-x²+2x+3的顶点为P，交x轴于点A（3，0），交y轴于点C、试探究在抛物线y=-x²+2x+3上是否存在除点P以外的点E，使得△ACE与△APC的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把a的值代入抛物线并把解析式整理成顶点式解析式，即可得到顶点坐标；然后利用待定系数法求直线函数解析式求出顶点P所在的直线解析式；
（2）写出抛物线的顶点坐标，然后消掉参数a整理即可证明；根据顶点坐标的横坐标，利用分母不等于0求解直线不可以的点的坐标；
（3）过点P作PF⊥y轴于点F，根据点A、C、P的坐标可得∠ACO=45°，∠PCF=45°，然后求出PC⊥AC，再求出点P关于点C的对称点P′，根据平行线间的距离相等，等底等高的三角形相等可知过点P与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点E，然后联立直线与抛物线解析式求解即可．
【解析】
（1）a=-1时，二次函数y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
顶点坐标为（1，4），
a=1时，二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
顶点坐标为（-1，2），
设顶点P所在的直线解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线解析式为y=x+3；

（2）根据二次函数y=ax2+2x+3的顶点坐标公式，
x=-=-①，
y==3-②，
①②联立消掉a得，y=x+3，
∵分母为0无意义，
∴x≠0，y≠3，
∴点（0，3）不是抛物线的顶点坐标；

（3）存在．
理由如下：如图，过点P作PF⊥y轴于点F，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵抛物线y=-x2+2x+3的顶点为P（1，4），点A的坐标为A（3，0），
∴△AOC，△PCF都是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，∠PCF=45°，
∴∠ACP=90°，故PC⊥AC，
根据点的对称可得点P关于点C的对称点P′（-1，2），
根据等底等高的三角形的面积相等可得过点P、P′与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点E，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
又平行直线的解析式的k值相等，
设过点P的直线为y=-x+m，
则-1+m=4，
解得m=5，
所以直线解析式为y=-x+5，
联立，
解得，，
∵点P（1，4），∴点E1（2，3），
设过点P′的直线为y=-x+n，
则1+n=2，
解得n=1，
所以直线解析式为y=-x+1，
联立，
解得，，
所以，点E的坐标为E2（，），E3（，），
综上所述，存在点E1（2，3），E2（，），E3（，），使得△ACE与△APC的面积相等．