Question

已知：如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，则下列结论正确的个数是（ ）
①b=2a   ②a-b+c＞-1  ③0＜b²-4ac＜4   ④ac+1=b．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，即-=-1，整理后即可得到答案；
②观察函数图象可以得到当x=-1时，函数值大于-1，从而可以得到答案；
③观察图象知函数图象与x轴有两个交点，从而得到b2-4ac＞0；然后根据表示出a，b，c的值，根据不等式的性质，即可求得；
④由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．
【解析】
①∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，
∴-=-1，
整理得b=2a，
故①正确；
④由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OB，所以B（-c，0），把它代入y=ax2+bx+c，即ac2-bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac-b+1=0，所以ac+1=b．
②∵b=2a，ac+1=b，
∴a=，
∵0＜c＜1，
∴0＜a＜1，
∴0＜b＜2，
∴a-b+c＞-1
∴当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c＞-1，
故②正确；
③∵函数图象与x轴有两个交点，
∴得到b2-4ac＞0，
∵0＜b2＜4，4ac＞0，
∴b2-4ac＜4
故③正确；
故选D．