Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O．将⊙O沿直径AC对折，B点落在圆上D点处．连接BD交AC于点E，过C点作BD的平行线交AD的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=，DF=3，求⊙O的半径长．

Answer

（1）欲证CF是⊙O的切线，只需证明⊥CF即可；
（2）由圆周角定理、平行线的性质以及等量代换推知∠BAC=∠DCF；然后根据三角函数的定义、轴对称图形的性质求得DC=BC=4；最后在直角三角形ABC中利用正弦三角函数的定义求得该圆的直径AC的长度．
（1）证明：∵B、D关于AC对称，∴AC⊥BD，
又∵CF∥BD，
∴AC⊥CF，
∵点C在⊙O上，
∴CF是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠CDF=90°；
又∵CF∥BD（已知），
∴∠BDC=∠DCF（两直线平行，内错角相等）；
∵∠BAC=∠BDC（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAC=∠DCF（等量代换），
∴sin∠BAC=sin∠DCF==，
∴CF=5；
∴CD=4；
∵B、D关于AC对称，
∴BC=CD=4，
∴sin∠BAC==，
∴AC=，
∴⊙O的半径长=AC=．