Question

红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y₁（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y₂=（t为整数）；
（1）求日销售量y₁（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．

Answer

（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值．
【解析】
（1）设一次函数为y=kt+b，
将（30，36）和（10，76）代入一次函数y=kt+b中，
有，
解得：．
故所求函数解析式为y=-2t+96；

（2）设前20天日销售利润为W1元，后20天日销售利润为W2元．
由W1=（-2t+96）（t+25-20）
=（-2t+96）（t+5）
=-t2+14t+480
=-（t-14）2+578，
∵1≤t≤20，
∴当t=14时，W1有最大值578（元）．
由W2=（-2t+96）（-t+40-20）
=（-2t+96）（-t+20）
=t2-88t+1920
=（t-44）2-16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t=44，
∴函数W2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t=21时，W2有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；

（3）由题意得：W=（-2t+96）（t+25-a）（1≤t≤20），配方得：
W=-[t-2（a+7）]2+2（a-17）2（1≤t≤20）
∵a为定值，而t=18时，W最大，
∴2（a+7）=18，解得：a=2