Question

如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．
（1）点C的坐标为______，直线l的解析式为______．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．
（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

Answer

（1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，将C点坐标代入正比例函数即可求得直线l的解析式；
（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t，根据t的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S关于t的函数，解题时注意t的取值范围；
（3）分别根据三种函数解析式求出当t为何值时，S最大，然后比较三个最大值，可知当t=时，S有最大值，最大值为；
（4）根据题意并细心观察图象，分两种情况讨论可知：当t=时，△QMN为等腰三角形．
【解析】
（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），
且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），
设直线l的解析式为y=kx，
将C点坐标代入y=kx，
解得k=，
∴直线l的解析式为y=x；
故答案为：（3，4），y=x；

（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：
①当0＜t≤时，如图1，M点的坐标是（t，t）．
过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEQ∽△ODC，
∴，
∴，
∴AE=，EQ=t，

∴Q点的坐标是（8+t，t），
∴PE=8+t，
∴S=t，

②当＜t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q点的坐标是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t，
∴S=t，

③当点Q与点M相遇时，16-2t=t，解得t=．
当3＜t＜时，如图3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
S=•4•（16-3t）=-6t+32，
所以S=；

（3）①当0＜t≤时，S=，
∵a=＞0，抛物线开口向上，t=时，最大值为；
②当＜t≤3时，S=-2t2+．
∵a=-2＜0，抛物线开口向下．
∴当t=时，S有最大值，最大值为．
③当3＜t＜时，S=-6t+32，
∵k=-6＜0．
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=3时，S=14．当t=时，S=0．
∴0＜S＜14．
综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为．

（4）当M点在线段CB上运动时，点Q一定在线段CB上，
①点Q在点M右侧，QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t，NM=NP-MP=t-4
则有16-3t=t-4 解得t=；
②点Q在点M左侧，QM=xM-xQ=3t-16，NM=NP-MP=t-4
则有3t-16=t-4 解得t=
但是，点Q的运动时间为（5+8）÷2=6.5秒，故将②舍去．
当t=时，△QMN为等腰三角形．