Question

如图甲，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．对角线AC与BD相交于O点，O′是B′D′的中点．
（1）求证：OO′是梯形AA′C′C的中位线．
（2）求证：AA′+CC′=BB′+DD′．
（3）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？写出你的猜想并证明．

Answer

（1）根据梯形中位线的判定与性质、平行四边形对角线的性质以及“一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等”证得OO′是梯形AA′C′C的中位线．
（2）根据梯形中位线定理得出OO′=（BB′+DD′），OO′=（AA′+CC′）即可；
（3）AA'=BB'+CC'+DD'．理由：延长C′O交AA′于E，根据平行线性质求出∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，证△AEO≌△OC′C，推出EO=C′O，得出A′O′=O′C′，根据中位线的性质求出OO′=（AA′-CC′），OO′=（BB′+DD′），推出AA′-CC′=BB′+DD′即可．
（1）证明：∵O是BD中点，O'是B'D'的中点，
∴OO'是梯形BB'D'D的中位线，
又∵BB'⊥MN，DD'⊥MN，
∴OO'∥BB'∥AA'∥CC'∥DD'，
∵OA=OC，
∴A′O′=C′O′（一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等），即点O′是线段A′C′的中点，
∴OO′是梯形AA′C′C的中位线；

（2）由（1）得：OO'是梯形BB'D'D的中位线，OO′是梯形AA′C′C的中位线，
∴OO′=（BB′+DD′），OO′=（AA′+CC′），
∴AA′+CC′=BB′+DD′．
∴（BB′+DD′）=（AA′+CC′），即AA'+CC'=BB'+DD'；

（3）AA'=BB'+CC'+DD'．垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的关系是AA′=BB′+CC′+DD′，
证明：延长C′O交AA′于E，
由（1）知：AA′∥OO′∥CC′，
∴∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，
∵OA=OC，
∴△AEO≌△OC′C，
∴EO=C′O，
∵OO′∥AA′，
∴A′O′=O′C′，
即OO′是△C′A′E的中位线，
∴OO′=A′E=（AA′-CC′），
由（1）知：OO′=（BB′+DD′），
∴AA′-CC′=BB′+DD′，
即AA′=BB′+CC′+DD′．