Question

如图，A、B的坐标分别为（8，4），（0，4）．点C从原点O出发以每秒1单位的速度沿着x轴的正方向运动，设运动时间为t（0＜t＜5）．点D在x轴上，坐标为（t+3，0），过点D作x轴的垂线交AB于E点，交OA于G点，连接CE交OA于点F．
（1）填空：CD=______，CE=______，AE=______ （用含t的代数式表示）；
（2）当△EFG的面积为时，点G恰好在函数第一象限的图象上．试求出函数的解析式；
（3）设点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数的图象上，是否存在以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出点C、P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由OC=t，OD=t+3，即可求出CD的长；先由矩形的性质得出DE=4，然后在直角△CDE中，运用勾股定理即可求出CE的长；先由矩形的性质得出BE=t+3，再由AB=8即可求出AE的长；
（2）过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=EG•FH．先运用待定系数法求出直线OA的解析式，再将G点的横坐标（与D点的横坐标相等）代入，得到G点的纵坐标，求出EG的长；先由AE∥OC，得出△AEF∽△OCF，根据相似三角形对应边成比例列出等式AE：OC=EF：CF，得出EF=5-t，再由正弦函数的定义得出FH=EF•sin∠CED=，然后根据△EFG的面积为列出关于t的方程，解方程求出t的值，得到G点的坐标为（4，2），则运用待定系数法即可求出过G点的反比例函数的解析式；
（3）当以A、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，首先根据这四个点的位置及0＜t＜5，判断平行四边形可能是▱APCQ或▱APQC，再由平行四边形的对角线互相平分的性质得出两对角线的中点重合．设P（x，），根据中点坐标公式列出关于x、t的方程组，解方程组即可．
【解析】
（1）∵由题意，可知OC=t，OD=t+3，
∴CD=OD-OC=t+3-t=3；
在直角△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=3，DE=OB=4，
∴CE==5；
∵AB=8，BE=OD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t．
故答案为3，5，5-t；

（2）如图，过点F作FH⊥DE于H，则△EFG的面积=EG•FH．
∵O（0，0），A（8，4），
∴直线OA的解析式为y=x，
当x=t+3时，y=，∴G（t+3，），
∴EG=DE-DG=4-=．
∵AE∥OC，
∴△AEF∽△OCF，
∴AE：OC=EF：CF，即（5-t）：t=EF：（5-EF），
解得EF=5-t，
∴FH=EF•sin∠CED=（5-t）×=，
∴△EFG的面积=EG•FH=××=，
∵△EFG的面积为，
∴=，
解得t=1或9，
∵0＜t＜5，
∴t=1，
∴G（4，2）．
∵点G在函数第一象限的图象上，
∴k=4×2=8．
故所求函数的解析式为y=；

（3）当点Q的坐标为（0，2t），点P在（2）中的函数的图象上时，存在以A、C、Q、P为顶点的平行四边形，理由如下：
分两种情况：设P（x，）．
①当四边形APCQ是平行四边形时，则AC与PQ互相平分，即AC的中点与PQ的中点重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴，
解得，（舍去），
∴C（-3，0），P（5+，10-2）．
②当四边形APQC是平行四边形时，则AQ与CP互相平分，即AQ的中点与CP的中点重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴，
解得（舍去），（舍去）．
综上可知，所求C点的坐标为（-3，0），P点的坐标为（5+，10-2）．